ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56732
Тема:    [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей.
б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и радикальной осью.

Решение

Две окружности задают радикальную ось, поэтому а) следует из б). Пусть задана окружность S с центром O и радиусом R и прямая l. Окружность S1 с центром O1 и радиусом R1 и окружность S имеют радикальную ось l тогда и только тогда, когда точка O1 лежит на прямой, перпендикулярной прямой l и проходящей через точку O, а кроме того, для любой точки A прямой l выполняется равенство AO2 - R2 = AO1 - R12, т.е. R12 = AO12 - AO2 + R2. Легко видеть, что все окружности, центры которых лежат на указанной прямой, а радиусы удовлетворяют указанному соотношению, образуют пучок. Действительно, если AO2 - R2 = AO1 - R12 и AO2 - R2 = AO2 - R22, то AO12 - R12 = AO2 - R22, поэтому прямая l служит радикальной осью окружностей S1 и S2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 11
Название Пучки окружностей
Тема Радикальная ось
задача
Номер 03.070B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .