Условие
На сторонах произвольного остроугольного
треугольника
ABC как на диаметрах построены окружности.
При этом образуется три к внешнихк криволинейных треугольника
и один к внутреннийк (рис.). Докажите, что если из
суммы площадей к внешнихк треугольников вычесть площадь
к внутреннегок треугольника, то получится удвоенная площадь
треугольника
ABC.
Решение
Рассматриваемые окружности проходят через основания
высот треугольника, а значит, точки их пересечения лежат на
сторонах треугольника. Пусть
x,
y,
z и
u — площади рассматриваемых
криволинейных треугольников;
a,
b,
c,
d,
e и
f — площади сегментов,
отсекаемых от окружностей сторонами треугольника;
p,
q и
r — площади частей треугольника, лежащих вне внутреннего криволинейного
треугольника (рис.). Тогда
x + (
a +
b) =
u +
p +
q + (
c +
f ),
y + (
c +
d )=
u +
q +
r + (
e +
b) и
z + (
e +
f )=
u +
r +
p + (
a +
d ). Складывая эти равенства,
получаем
x +
y +
z = 2(
p +
q +
r +
u) +
u.
Источники и прецеденты использования
