ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56697
Тема:    [ Площади криволинейных фигур ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На трех отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

Решение

Обозначим точки пересечения окружностей, построенных на отрезках OB и OCOA и OCOA и OB, через  A1, B1, C1 соответственно (рис.).  $ \angle$OA1B = $ \angle$OA1C = 90o, поэтому точки B, A1 и C лежат на одной прямой, а так как окружности имеют одинаковые радиусы, то BA1 = A1C. Точки  A1, B1, C1 являются серединами сторон треугольника ABC, поэтому  BA1 = C1B1 и  BC1 = A1B1. Так как круги имеют одинаковый радиус, то равные хорды BA1 и C1B1 отсекают от кругов части равной площади, а равные хорды C1B и B1A1 также отсекают от кругов части равной площади. Поэтому площадь криволинейного треугольника A1B1C1 равна площади параллелограмма  A1B1C1B, т. е. равна половине площади треугольника ABC.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 7
Название Площади криволинейных фигур
Тема Площади криволинейных фигур
задача
Номер 03.040

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .