Информация о задаче

Задача 56680

Тема:

[

Касающиеся окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

а) Три окружности с центрами A, B, C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рис. Пусть a, b и c — радиусы окружностей с центрами A, B, C. Докажите, что 1/ $\sqrt{c}$ = 1/ $\sqrt{a}$ + 1/ $\sqrt{b}$ .
б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть a, b, c, d — их радиусы, $\alpha$ = 1/a, $\beta$ = 1/b, $\gamma$ = 1/c и $\delta$ = 1/d. Докажите, что 2( $\alpha^{2}_{}$ + $\beta^{2}_{}$ + $\gamma^{2}_{}$ + $\delta^{2}$ ) = ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ + $\delta$ )².

Решение

а) Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точек A, B и C на прямую l; C₂ — проекция точки C на прямую AA₁. По теореме Пифагора CC₂² = AC² - AC₂², т. е. A₁C₁² = (a + c)² - (a - c)² = 4ac. Аналогично B₁C₁² = 4bc и A₁B₁² = 4ab. Так как A₁C₁ + C₁B₁ = A₁B₁, то $\sqrt{ac}$ + $\sqrt{bc}$ = $\sqrt{ab}$ , т. е. 1/ $\sqrt{b}$ + 1/ $\sqrt{a}$ = 1/ $\sqrt{c}$ .
б) Пусть A, B, C — центры к внешнихк окружностей, D — центр к внутреннейк окружности (рис.). Полупериметр треугольника BDC равен b + c + d, поэтому

cos² $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{BDC}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{BDC}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{BDC}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{d(b+c+d)}{(b+d)(c+d)}}$ , sin² $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{BDC}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{BDC}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{BDC}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{bc}{(b+d)(c+d)}}$

(см. задачу 12.13). Если $\alpha{^\prime}$ + $\beta{^\prime}$ + $\gamma{^\prime}$ = 180^o, то sin² $\alpha{^\prime}$ + sin² $\beta{^\prime}$ - sin² $\gamma{^\prime}$ + 2 sin $\beta{^\prime}$ sin $\gamma{^\prime}$ cos $\alpha{^\prime}$ = 0 (это утверждение эквивалентно теореме косинусов). Подставив в эту формулу значения $\alpha{^\prime}$ = $\angle$ BDC/2, $\beta{^\prime}$ = $\angle$ ADC/2 и $\gamma{^\prime}$ = $\angle$ ADB/2, получим

$\displaystyle {\frac{bc}{(b+d)(c+d)}}$ - $\displaystyle {\frac{ac}{(a+d)(c+d)}}$ - $\displaystyle {\frac{ab}{(a+d)(b+d)}}$ + 2 $\displaystyle {\frac{a\sqrt{bcd(b+c+d)}}{(a+d)(b+d)(c+d)}}$ = 0,

т. e.

$\displaystyle {\frac{a+d}{a}}$ - $\displaystyle {\frac{b+d}{b}}$ - $\displaystyle {\frac{c+d}{c}}$ + 2 $\displaystyle \sqrt{\frac{d(b+c+d)}{bc}}$ = 0.

Разделив на d, имеем $\alpha$ - $\beta$ - $\gamma$ - $\delta$ + 2 $\sqrt{\beta \gamma +\gamma {\delta}+{\delta}\beta }$ = 0. Поэтому ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ + $\delta$ )² = ( $\alpha$ - $\beta$ - $\gamma$ - $\delta$ )² + 4( $\alpha$ $\beta$ + $\alpha$ $\gamma$ + $\alpha$ $\delta$ ) = 4( $\beta$ $\gamma$ + $\gamma$ $\delta$ + $\delta$ $\beta$ ) + 4( $\alpha$ $\beta$ + $\alpha$ $\gamma$ + $\alpha$ $\delta$ ) = 2( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ + $\delta$ )² - 2( $\alpha^{2}_{}$ + $\beta^{2}_{}$ + $\gamma^{2}_{}$ + $\delta^{2}$ ), т. е. 2( $\alpha^{2}_{}$ + $\beta^{2}_{}$ + $\gamma^{2}_{}$ + $\delta^{2}$ ) = ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ + $\delta$ )².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	3
Название	Касающиеся окружности
Тема	Касающиеся окружности
задача
Номер	03.023