Информация о задаче

Задача 56679

Тема:

[

Касающиеся окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

Решение

Пусть O_i — центр окружности S_i, A_i — точка касания окружностей S_i и S_{i + 1}. Четырехугольник O₁O₂O₃O₄ выпуклый; пусть $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , $\alpha_{3}^{}$ и $\alpha_{4}^{}$ — величины его углов. Легко проверить, что $\angle$ A_{i - 1}A_iA_{i + 1} = ( $\alpha_{i}^{}$ + $\alpha_{i+1}^{}$ )/2, поэтому $\angle$ A₁ + $\angle$ A₃ = ( $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ + $\alpha_{3}^{}$ + $\alpha_{4}^{}$ )/2 = $\angle$ A₂ + $\angle$ A₄.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	3
Название	Касающиеся окружности
Тема	Касающиеся окружности
задача
Номер	03.022