Задача 56678

Тема:    [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8

Условие

На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L, а окружность с диаметром AB — в точках M и N. Докажите, что KM = LN.

Решение

Пусть O, O₁ и O₂ — центры окружностей с диаметрами AB, AC и BC. Достаточно проверить, что KO = OL. Докажем, что  O₁KO = O₂OL. В самом деле,  O₁K = AC/2 = O₂O,  O₁O = BC/2 = O₂L и  KO₁O = OO₂L = 180^o - 2, где  — угол между прямыми KL и AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	3
Название	Касающиеся окружности
Тема	Касающиеся окружности
задача
Номер	03.021