Условие
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой
ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем
путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру
окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы
удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого
такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными
знаками, равна нулю.
Решение
Пусть
ABCD...
YZ — указанная замкнутая ломаная,
tA,
tB, ...,
tZ — длины касательных к окружности, проведённых из вершин ломаной. В
соответствии с соглашением о знаках алгебраическая длина участка пути от
A к
B равна
tA -
tB. Поэтому алгебраическая сумма длин участков пути с
указанными знаками равна
(tA - tB) + (tB - tC) + ... + (tY - tZ) + (tZ - tA) = 0.
Источники и прецеденты использования
