ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56664
Тема:    [ Прямые, касающиеся окружностей ]
Сложность: 5
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.



Решение

Обозначим некоторые точки касания так, как показано на рис. Сумма длин одной пары противоположных сторон среднего четырехугольника равна сумме длин пары других его сторон. Продолжим стороны этого четырехугольника до точек касания с вписанными окружностями остальных четырехугольников (ST — один из полученных отрезков). При этом обе суммы длин пар противоположных отрезков увеличатся на одно и то же число. Каждый из полученных отрезков является общей касательной к паре к угловыхк окружностей; его можно заменить на равную ему по длине другую общую внешнюю касательную (т. е. ST заменить на QR). Для доказательства равенства  AB + CD = BC + AD остается воспользоваться равенствами вида AP = AQ.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 1
Название Касательные к окружностям
Тема Прямые, касающиеся окружностей
задача
Номер 03.008

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .