Условие
Дан параллелограмм
ABCD. Вневписанная окружность
треугольника
ABD касается продолжений сторон
AD и
AB в
точках
M и
N. Докажите, что точки пересечения отрезка
MN с
BC
и
CD лежат на вписанной окружности треугольника
BCD.
Решение
Пусть
R — точка касания вневписанной окружности со
стороной
BD,
P и
Q — точки пересечения отрезка
MN с
BC
и
CD соответственно (рис.). Так как
DMQ =
BPN,
DQM =
BNP и
DMQ =
BNP, то
треугольники
MDQ,
PBN и
PCQ равнобедренные. Поэтому
CP =
CQ,
DQ =
DM =
DR и
BP =
BN =
BR. Следовательно,
P,
Q и
R — точки касания
вписанной окружности треугольника
BCD с его сторонами (см. задачу
5.1).
Источники и прецеденты использования
