Условие
К двум окружностям различного радиуса проведены
общие внешние касательные
AB и
CD. Докажите, что
четырехугольник
ABCD описанный тогда и только тогда,
когда окружности касаются.
Решение
Пусть прямые
AB и
CD пересекаются в точке
O.
Для определенности будем считать, что точки
A и
D
принадлежат первой окружности, а
B и
C — второй,
причем
OB <
OA (рис.). Точка
M пересечения биссектрис
углов
A и
D четырехугольника
ABCD является серединой
той дуги первой окружности, которая лежит внутри
треугольника
AOD, а точка
N пересечения биссектрис
углов
B и
C — серединой той дуги второй окружности,
которая лежит вне
треугольника
BOC (см. задачу
2.91, а)).
Четырехугольник
ABCD описанный тогда и только тогда, когда точки
M
и
N совпадают.
Источники и прецеденты использования
