Информация о задаче

Задача 56621

Тема:

[

Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Через вершины A, B, C и D проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник вписанный.
б) Четырехугольник KLMN вписанный и описанный одновременно; A и B — точки касания вписанной окружности со сторонами KL и LM. Докажите, что AK^.BM = r², где r — радиус вписанной окружности.

Решение

а) Следует отметить, что так как точки A, B, C и D разбивают окружность на дуги, меньшие 180^o, то построенный четырехугольник содержит эту окружность. Угол $\varphi$ между касательными, проведенными через точки A и B, равен 180^o - $\angle$ AOB, а угол $\psi$ между касательными, проведенными через точки C и D, равен 180^o - $\angle$ COD. Так как $\angle$ AOB + $\angle$ COD = 180^o, то $\varphi$ + $\psi$ = 180^o.
Замечание. Обратно, из равенства $\varphi$ + $\psi$ = 180^o следует, что $\angle$ AOB + $\angle$ COD = 180^o, т. е. AC $\perp$ BD.
б) Пусть O — центр вписанной окружности. Так как $\angle$ AKO + $\angle$ BMO = 90^o, то $\angle$ AKO = $\angle$ BOM и $\triangle$ AKO $\sim$ $\triangle$ BOM. Следовательно, AK^.BM = BO^.AO = r².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	8
Название	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
Тема	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
задача
Номер	02.078