Задача 56617

Тема:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна  (AB ^. CD + BC ^. AD)/2.

Решение

Возьмем на описанной окружности точку D' так, что  DD' || AC. Так как  DD' BD, то BD' — диаметр, а значит,  D'AB = D'CB = 90^o. Поэтому  S_ABCD = S_ABCD' = (AD' ^. AB + BC ^. CD')/2 = (AB ^. CD + BC ^. AD)/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	8
Название	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
Тема	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
задача
Номер	02.074