Задача 56600

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине A. На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно так, что CH = BC и AK = AB. Докажите, что:
а) DH = DK;
б)  DKH ABK.

Решение

Так как  AK = AB = CD, AD = BC = CH и  KAD = DCH, то  ADK = CHD и DK = DH. Покажем, что точки A, K, H, C и D лежат на одной окружности. Опишем вокруг треугольника ADC окружность. Проведем в этой окружности хорду CK₁ параллельно AD и хорду AH₁ параллельно DC. Тогда K₁A = DC и H₁C = AD. Значит, K₁ = K и H₁ = H, т. е. построенная окружность проходит через точки K и H и углы KAH и KDN равны, так как они опираются на одну дугу. Кроме того, уже было показано, что KDH — равнобедренный треугольник.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.057