ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56569
Тема:    [ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что величина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M.

Решение

Пусть $ \varphi$ — угол между хордой AB и касательной, проходящей через один из ее концов. Тогда  AB = 2R sin$ \varphi$, где R — радиус окружности S. Кроме того,  PM = AM sin$ \varphi$ и  QM = BM sin$ \varphi$. Поэтому  $ {\frac{1}{PM}}$ + $ {\frac{1}{QM}}$ = ((AM + BM)/sin$ \varphi$)AM . BM = 2R/(AM . BM). Величина  AM . BM не зависит от выбора хорды AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 3
Название Угол между касательной и хордой
Тема Угол между касательной и хордой
задача
Номер 02.028

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .