Условие
В окружность вписаны треугольники
T1 и
T2, причем
вершины треугольника
T2 являются серединами дуг, на
которые окружность разбивается вершинами треугольника
T1. Докажите,
что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников
T1
и
T2, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны
сторонам треугольника
T1 и пересекаются в одной точке.
Решение
Обозначим вершины треугольника
T1 через
A,
B и
C;
середины дуг
BC,
CA,
AB через
A1,
B1,
C1. Тогда
T2 =
A1B1C1.
Прямые
AA1,
BB1,
CC1 являются биссектрисами треугольника
T1,
поэтому они пересекаются в одной точке
O. Пусть прямые
AB и
C1B1
пересекаются в точке
K. Достаточно проверить, что
KO ||
AC.
В треугольнике
AB1O прямая
B1C1 является биссектрисой и высотой,
поэтому этот треугольник равнобедренный. Следовательно,
треугольник
AKO тоже равнобедренный. Прямые
KO и
AC параллельны,
так как
KOA =
KAO =
OAC.
Источники и прецеденты использования
