ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 56521
УсловиеИз произвольной точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на его две противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.РешениеПусть MQ и MP — перпендикуляры, опущенные на стороны AD и BC, MR и MT — перпендикуляры, опущенные на продолжения сторон AB и CD (рис.). Обозначим через M1 и P1 вторые точки пересечения прямых RT и QP с окружностью.Так как TM1 = RM = AQ и TM1 || AQ, то AM1 || TQ. Аналогично AP1 || RP. Поскольку M1AP1 = 90o, то RP TQ. Обозначим точки пересечения прямых TQ и RP, M1A и RP, P1A и TQ через E, F, G соответственно. Чтобы доказать, что точка E лежит на прямой AC, достаточно доказать, что прямоугольники AFEG и AM1CP1 подобны. Так как ARF = AM1R = M1TG = M1CT, можно обозначить величины этих углов одной буквой . AF = RA sin = M1A sin2, AG = M1T sin = M1C sin2, поэтому прямоугольники AFEG и AM1CP1 подобны. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|