Задача 56482

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

Решение

Обозначим точку пересечения медиан через O, точки пересечения медианы AK с прямыми FP и FE – через Q и M, точки пересечения медианы CL с прямыми EP и FE – через R и N соответственно (см. рис.).  FM : FE = FQ : FP = LO : LC = 1 : 3,  то есть  FM = ^FE/₃.  Аналогично  EN = ^FE/₃.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	2
Название	Отношение сторон подобных треугольников
Тема	Отношения линейных элементов подобных треугольников
задача
Номер	01.027