ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56462
Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вершины параллелограмма A1B1C1D1 лежат на сторонах параллелограмма ABCD (точка A1 лежит на стороне AB, точка B1 – на стороне BC и т. д.).
Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.


Решение 1

Центр параллелограмма A1B1C1D1 как середина отрезка B1D1 принадлежит отрезку, соединяющему середины сторон AB и CD. Аналогично он принадлежит отрезку, соединяющему середины сторон BC и AD. Точка пересечения этих отрезков – центр параллелограмма ABCD.


Решение 2

Пусть A1, B1, C1, D1 – вершины одного параллелограмма, лежащие на сторонах a, b, c, d параллелограмма ABCD соответственно, а O – центр параллелограмма A1B1C1D1. При симметрии относительно точки O точки A1 и C1, а также точки B1 и D1 попарно переходят друг в друга. Прямая a переходит в параллельную ей прямую, проходящую через точку C1 – образ точки A1, то есть в прямую c. Аналогично прямая b переходит в прямую d. Значит, параллелограмм ABCD при этой симметрии переходит в себя, то есть точка O является его центром.

Замечания

Источник решения 2: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 08
Дата 1985
задача
Номер 11
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 1
Название Подобные треугольники
Тема Подобные треугольники
параграф
Номер 1
Название Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер 01.007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .