Задача 55772

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.

Подсказка

Биссектриса треугольника делит его основание на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть AB и AC — его данные стороны, а AD — данная биссектриса.

Вершины B и C лежат на окружностях S₁ и S₂ с центрами в точке A и радиусами AB и AC соответственно. Поскольку = , то при гомотетии с центром в точке D и коэффициентом - вершина C перейдёт в вершину B, а окружность S₂ — в окружность, проходящую через точку B. Отсюда вытекает следующий способ построения.

Строим окружности S₁ и S₂ с центром в конце A данного отрезка AD радиусами, равными данным сторонам. Затем строим образ окружности S₂ при гомотетии с центром D и коэффициентом - . Пересечение этого образа с окружностью S₁ дает искомую вершину B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6415