ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55762
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На каждом из оснований AD и BC трапеции ABCD построены вне трапеции равносторонние треугольники.
Докажите, что отрезок, соединяющий третьи вершины этих треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.


Подсказка

Рассмотрите гомотетию относительно точки пересечения диагоналей трапеции, переводящую точку A в точку C.


Решение

  Пусть BMC и DNA – указанные равносторонние треугольники, O – точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD.
  При гомотетии относительно точки O, переводящей точку A в точку C, точка D перейдёт в точку B, отрезок AD – в отрезок CB, луч AN – в луч CM (так как прямые AN и CM параллельны), а луч DN – в луч BM. Поэтому точка N перейдёт в точку M.
  Следовательно, прямая MN проходит через центр рассматриваемой гомотетии, то есть через точку O.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6405

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .