Задача 55707

Темы:    [ Центральная симметрия ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что при центральной симметрии каждый луч переходит в противоположно направленный с ним луч.

Подсказка

Рассмотрите образы начала луча и произвольной точки этого луча при центральной симметрии.

Решение

Пусть точка A — начало луча l, X — произвольная точка этого луча, A₁ и X₁ — образы точек A и X при симметрии относительно точки O. Рассмотрим случай, когда точка O не лежит на прямой AX.

Из определения центральной симметрии следует, что точки X и X₁ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AA₁, и треугольники A₁OX₁ и AOX равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, прямые AX и A₁X₁ параллельны. Следовательно, образ точки X принадлежит лучу, противоположному данному.

Аналогично докажем, что образ Y₁ любой точки Y луча AX принадлежит лучу A₁X₁.

Если центр симметрии лежит на прямой, содержащей данный луч, утверждение очевидно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5702