Информация о задаче

Задача 55687

Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]
Темы:	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, а на другой — точка B, причём $\angle$ AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

Подсказка

Пусть O₁ и O₂ — центры первой и второй окружностей. Обозначим $\angle$ AO₁K = $\alpha$ . Из равнобедренного треугольника AO₁K находим, что

$\displaystyle \angle$ AKO₁ = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Поэтому

$\displaystyle \angle$ BKO₂ = 180^o - 90^o - $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ}- \frac{\alpha}{2}}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ}- \frac{\alpha}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \angle$ KO₂B = 180^o - $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно, прямые O₁A и O₂B параллельны.

При параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{O_{1}O_{2}}$ первая окружность перейдёт во вторую, а точка A перейдёт в точку B. Следовательно, AB = O₁O₂ = 2R.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5501