ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55687
Темы:    [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Касающиеся окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, а на другой — точка B, причём $ \angle$AKB = 90o. Докажите, что AB = 2R.


Подсказка

Пусть O1 и O2 — центры первой и второй окружностей. Обозначим $ \angle$AO1K = $ \alpha$. Из равнобедренного треугольника AO1K находим, что

$\displaystyle \angle$AKO1 = 90o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.

Поэтому

$\displaystyle \angle$BKO2 = 180o - 90o - $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ}- \frac{\alpha}{2}}\right.$90o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ}- \frac{\alpha}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle \angle$KO2B = 180o - $\displaystyle \alpha$.

Следовательно, прямые O1A и O2B параллельны.

При параллельном переносе на вектор $ \overrightarrow{O_{1}O_{2}}$ первая окружность перейдёт во вторую, а точка A перейдёт в точку B. Следовательно, AB = O1O2 = 2R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5501

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .