|
|
 |
Условие
С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность n-угольник, стороны которого соответственно параллельны n данным прямым.
Подсказка
Проведите через центр окружности n прямых, перпедикулярных данным, и рассмотрите композицию n симметрий относительно этих прямых. Разберите отдельно случаи чётного и нечётного n.
Решение
Проведём через центр окружности n прямых l1, l2, ..., ln, соответственно перпедикулярных данным. Тогда эти прямые будут серединными перпендикулярами к сторонам A1A2, A2A3, ..., AnA1 искомого n-угольника.
При композиции n симметрий относительно прямых l1, l2, ..., ln вершина A1 переходит в себя. Пусть n — нечётное число. Тогда рассматриваемая композиция есть симметрия относительно некоторой прямой l, проходящей через вершину A1.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ M1 произвольной точки M данной окружности при композиции симметрий относительно прямых l1, l2, ..., ln, соответственно перпендикулярных данным n прямым. Пересечение серединного перпендикуляра к отрезку MM1 с данной окружностью есть вершина A1 искомого n-угольника. Остальные вершины строятся с помощью симметрий относительно прямых l1, l2, ..., ln - 1. Задача имеет два решения.
Пусть n — чётное число. Тогда рассматриваемая композиция представляет собой поворот вокруг центра данной окружности. Из того, что точка A1 при этом преобразовании переходит в себя, следует, что это поворот на угол, кратный 360o, т.е. тождественное преобразование.
В этом случае задача имеет бесконечное множество решений. В
качестве вершины A1 можно взять любую точку окружности, не
лежащую ни на одной из прямых l1, l2, ...,
ln. Это возможно только в случае, когда сумма углов
,
, ...,
кратна
180o
(
— угол между прямыми l1 и l2,
—
между l3 и l4 и т. д.).
Если это не так, то задача не имеет решений.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 5133 |
