ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55556
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда около неё можно описать окружность.


Подсказка

Окружность симметрична относительно любого своего диаметра. Основание равнобедренной трапеции видно из вершин другого основания под одним и тем же углом.


Решение

Достаточность. Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда она симметрична относительно диаметра окружности, перпендикулярного основаниям. Следовательно, трапеция — равнобедренная.

Необходимость. Пусть трапеция ABCD — равнобедренная, AB и CD — её основания. Тогда треугольники ABC и BAD равны. Следовательно, $ \angle$ADB = $ \angle$ACB. Поэтому точки A, D, C и B лежат на одной окружности, т.е. четырёхугольник ABCD — вписанный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5003

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .