Задача 55543

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Известно, что  AC₁ = BA₁ = CB₁.  Докажите, что треугольник ABC правильный.

Подсказка

Точки A₁, B₁, C₁ – середины сторон треугольника ABC.

Решение

Поскольку  AC₁ = BA₁ = BC₁, то точка C₁ – середина стороны AB. Аналогично точки B₁ и A₁ – середины сторон AC и BC. Поэтому  AB = 2BC₁ = 2BA₁ = BC = 2CA₁ = 2CB₁ = AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4866