ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55531
Темы:    [ Шестиугольники ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписаны треугольники T1 и T2, причём вершины треугольника T2 являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T1. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников T1 и T2, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T1 и пересекаются в одной точке.


Подсказка

Докажите, что указанные диагонали проходят через точку пересечения биссектрис треугольника T1.


Решение

Пусть A, B, C — вершины треугольника T1; A1 — середина дуги BC, не содержащей точки A; B1 — середина дуги AC, не содержащей точки B; C1 — середина дуги AB, не содержащей точки C. Тогда A1, B1, C1 — вершины треугольника T2.

Пусть MNKLEF — указанный шестиугольник (рис.1). Поскольку лучи AA1, BB1, CC1 — биссектрисы углов треугольника ABC, то отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Обозначим её буквой P, а точку пересечения отрезков BB1 и A1C1 — буквой Q. Тогда

$\displaystyle \angle$BQC1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$( $\displaystyle \cup$ BC1 + $\displaystyle \cup$ B1A1) = $\displaystyle \angle$BCC1 + $\displaystyle \angle$A1AC + $\displaystyle \angle$B1BC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BCA + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BAC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 180o = 90o.

Кроме того,

$\displaystyle \angle$BC1A1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ BA1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ CA1 = $\displaystyle \angle$CC1A1.

Позтому высота C1Q треугольника BC1P является его биссектрисой. Следовательно, треугольник BC1P — равнобедренный, Q — середина BP. Тогда и треугольник BMP — равнобедренный, $ \angle$BPM = $ \angle$PBM = $ \angle$PBA. Значит, PM || AB. Аналогично PL || AB. Следовательно, отрезок ML проходит через точку P и параллелен стороне AB. Аналогично для диагоналей NE и KF.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4854

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .