Информация о задаче

Задача 55531

Темы:	[	Шестиугольники	]
Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписаны треугольники T₁ и T₂, причём вершины треугольника T₂ являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T₁. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников T₁ и T₂, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T₁ и пересекаются в одной точке.

Подсказка

Докажите, что указанные диагонали проходят через точку пересечения биссектрис треугольника T₁.

Решение

Пусть A, B, C — вершины треугольника T₁; A₁ — середина дуги BC, не содержащей точки A; B₁ — середина дуги AC, не содержащей точки B; C₁ — середина дуги AB, не содержащей точки C. Тогда A₁, B₁, C₁ — вершины треугольника T₂.

Пусть MNKLEF — указанный шестиугольник (рис.1). Поскольку лучи AA₁, BB₁, CC₁ — биссектрисы углов треугольника ABC, то отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке. Обозначим её буквой P, а точку пересечения отрезков BB₁ и A₁C₁ — буквой Q. Тогда

$\displaystyle \angle$ BQC₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ BC₁ + $\displaystyle \cup$ B₁A₁) = $\displaystyle \angle$ BCC₁ + $\displaystyle \angle$ A₁AC + $\displaystyle \angle$ B₁BC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BCA + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.180^o = 90^o.

Кроме того,

$\displaystyle \angle$ BC₁A₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ BA₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ CA₁ = $\displaystyle \angle$ CC₁A₁.

Позтому высота C₁Q треугольника BC₁P является его биссектрисой. Следовательно, треугольник BC₁P — равнобедренный, Q — середина BP. Тогда и треугольник BMP — равнобедренный, $\angle$ BPM = $\angle$ PBM = $\angle$ PBA. Значит, PM || AB. Аналогично PL || AB. Следовательно, отрезок ML проходит через точку P и параллелен стороне AB. Аналогично для диагоналей NE и KF.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4854