Задача 55490

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.

Подсказка

Докажите, что углы при большем основании трапеции равны 45^o.

Решение

Предположим, что нужная трапеция ABCD построена. Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, принадлежащие диагоналям AC и BD соответственно, R — радиус окружностей, AD и BC — основания трапеции (AD > BC). Тогда

2R = O₁O₂ = .

Поскольку AC и BD — биссектрисы углов A и D трапеции, то AB = BC = CD. Поэтому трапеция — равнобедренная. Пусть P — проекция вершины B на AD. Тогда

AP = = 2R = BP.

Следовательно,

A = D = 45^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4812