ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55490
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.


Подсказка

Докажите, что углы при большем основании трапеции равны 45o.


Решение

Предположим, что нужная трапеция ABCD построена. Пусть O1 и O2 — центры данных окружностей, принадлежащие диагоналям AC и BD соответственно, R — радиус окружностей, AD и BC — основания трапеции (AD > BC). Тогда

2R = O1O2 = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$.

Поскольку AC и BD — биссектрисы углов A и D трапеции, то AB = BC = CD. Поэтому трапеция — равнобедренная. Пусть P — проекция вершины B на AD. Тогда

AP = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ = 2R = BP.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$A = $\displaystyle \angle$D = 45o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4812

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .