Задача 55482

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольник с периметром, равным 20, вписана окружность. Отрезок касательной, проведённый к окружности параллельно основанию, заключённый между сторонами треугольника, равен 2,4. Найдите основание треугольника.

Решение

  Обозначим точки пересечения касательной со сторонами AC и CB через M и N соответственно, а точки касания этих сторон с вписанной окружностью – соответственно через P и Q.
  Обозначим  AB = c.  Пусть p₁ и p – полупериметры подобных треугольников CMN и CAB соответственно. Тогда  p₁ = CP = p – c = 10 – c.  Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, поэтому  p₁ : p = MN : AB,  или  ^10–c/₁₀ = ^2,4/_c.  Отсюда  c = 6  или  c = 4.

Ответ

6 или 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4804