Информация о задаче

Задача 55475

Тема:

[

Пересекающиеся окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена произвольная прямая, пересекающая эти окружности соответственно в точках C₁ и C₂, отличных от A. Докажите, что отрезок C₁C₂ виден из точки B под одним и тем же углом для любой прямой C₁C₂.

Подсказка

Докажите, что указанный отрезок виден из точки B под углом, равным углу между радиусами окружностей, проведёнными в точку A.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей S₁ и S₂ соответственно. Обозначим

$\displaystyle \angle$ O₁AO₂ = $\displaystyle \varphi$ , $\displaystyle \angle$ C₁BA = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ C₂BA = $\displaystyle \beta$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ C₁O₁A = 2 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ C₂O₂A = 2 $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ C₁AO₁ = 90^o - $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ C₂AO₂ = 90^o - $\displaystyle \beta$ .

Поэтому

90^o - $\displaystyle \alpha$ + 90^o - $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \varphi$ = 180^o.

Следовательно,

$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \varphi$ , $\displaystyle \angle$ C₁BC₂ = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \varphi$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4797