ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55464
Темы:    [ Теорема Птолемея ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть A1A2...An – правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M – произвольная точка на дуге A1An окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки M до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от M до вершин с чётными номерами.


Подсказка

Примените теорему Птолемея для n четырёхугольников MA1A2A3, MA2A3A4 и т.д.


Решение

   Рассмотрим сначала случай  n = 5.  Обозначим    A1A2 = aA1A3 = A2A4 = A3A5 = A5A2 = A1A4 = bMAi = di.
Применив теорему Птолемея к пяти вписанным четырёхугольникам MA1A2A3, MA2A3A4, MA3A4A5, A4A5MA1 и A5MA1A2, получим следующие равенства:
      ad1 + ad3 = bd2,
      bd3 = ad2 + ad4,
      ad3 + ad5 = bd4,
      ad1 + bd5 = ad4,
      bd1 + ad5 = ad2.
Сложив их почленно, получим, что   (2a + b)(d1 + d2 + d3) = (2a + b)(d2 + d4).
Следовательно,   d1 + d3 + d5 = d2 + d4.
   Доказательство для любого правильного n-угольника с нечётным числом сторон практически аналогично.

Замечания

Ср. с задачей 52355.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4786

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .