ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55457
Темы:    [ Треугольник (экстремальные свойства) ]
[ Построения (прочее) ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего возможного периметра.


Подсказка

К большей из двух окружностей, вписанных в данный угол и проходящих через данную внутри угла точку M, проведите касательную в точке M.


Решение

Если данная точка M расположена вне данного угла KAL, то задача не имеет решений.

Пусть точка M расположена внутри данного угла, а S — большая из двух окружностей, вписанных в данный угол и проходящих через точку M. Докажем, что касательная к этой окружности, проведённая через точку M, отсекает от данного угла нужный треугольник.

Пусть B и C — точки пересечения этой касательной со сторонами AK и AL данного угла. Тогда периметр треугольника ABC равен 2AP, где P — точка касания построенной окружности со стороной AK данного угла.

Пусть B1C1 — любой другой отрезок с концами на сторонах AK и AL данного угла, проходящий через точку M. Рассмотрим вневписанную окружность S1 треугольника AB1C1, касающуюся стороны B1C1 в точке M1. Поскольку точка M лежит вне этой окружности, то радиус окружности S1 больше радиуса окружности S. Поэтому AP1 > AP, где P1 — точка касания окружности S1 со стороной AK данного угла. Поскольку периметр треугольника AB1C1 равен 2AP1, то утверждение доказано.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4779

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .