Информация о задаче

Задача 55453

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Гомотетичные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Докажите, что их линия центров параллельна данной прямой.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники.

Решение

Пусть A и B — данные точки, O — центр данной окружности, R — её радиус, O₁ и O₂ — центры двух построенных окружностей, r — их радиус.

Каждая из двух равных окружностей гомотетична данной (A и B — центры гомотетии) с коэффициентом ${\frac{r}{R}}$ . Поэтому

$\displaystyle {\frac{AO_{1}}{AO}}$ = $\displaystyle {\frac{BO_{2}}{BO}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ .

Следовательно, ${\frac{OO_{1}}{AO}}$ = ${\frac{OO_{2}}{BO}}$ , т.е. треугольники OO₁O₂ и OAB подобны. Отсюда следует параллельность их соответствующих сторон O₁O₂ и AB.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4775