Информация о задаче

Задача 55435

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность с центром O вписана трапеция KLMN, в которой KL параллельно MN, KL = 8, MN = 2, угол NKL равен 45^o. Хорда MA окружности пересекает отрезок KL в точке B, причём KB = 3. Найдите расстояние от точки O до прямой AK.

Подсказка

NB — высота трапеции.

Решение

Пусть P — проекция вершины N на основание KL трапеции KLMN. Поскольку трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Поэтому

KP = $\displaystyle {\frac{KL - MN}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{2}}$ = 3.

Следовательно, точка P совпадает с точкой B, а NB — высота трапеции. Тогда

ML = KN = $\displaystyle {\frac{KB}{\cos 45^{\circ}}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

BM = $\displaystyle \sqrt{MN^{2}+ NB^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4 + 9}$ = $\displaystyle \sqrt{13}$ .

Из подобия треугольников KBA и MBL следует, что ${\frac{KA}{ML}}$ = ${\frac{KB}{BM}}$ . Отсюда находим, что

KA = ML^. $\displaystyle {\frac{KB}{BM}}$ = $\displaystyle {\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}$ .

Пусть R — радиус окружности. Тогда

OA = OK = R = $\displaystyle {\frac{LN}{2\sin 45^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{NB^{2}+ BL^{2}}}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle \sqrt{17}$ .

Пусть BH — высота равнобедренного треугольника AOK. Тогда

OH = $\displaystyle \sqrt{OA^{2}- AH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{R^{2}- \frac{AK^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{19}{\sqrt{26}}}$ .

Ответ

${\frac{19}{\sqrt{26}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4757