ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55395
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности даны точки A, B и C, причём точка B более удалена от от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведённую через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что  AB² = AC·AD.


Решение

  Пусть K – вторая точка пересечения прямой BD с окружностью. Тогда точки B и K симметричны относительно диаметра окружности, проходящего через точку A. Следовательно,  ∠ACB = ∠AKB = ∠ABK.
  Поэтому треугольники ACB и ABD подобны по двум углам. Следовательно,  AB : AC = AD : ABAB² = AC·AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4714

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .