Информация о задаче

Задача 55393

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

Окружность S₁ касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S₂ касается прямой AC в точке C и проходит через точку B. Окружность S₁ она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

Подсказка

Примените теорему об угле между касательной и хордой.

Первый способ.

Пусть D — точка пересечения прямой AM с окружностью S₂. По теореме об угле между касательной и хордой

$\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \angle$ BAM = $\displaystyle \angle$ MCA = $\displaystyle \angle$ CDA.

Поэтому CD || AB. С другой стороны,

$\displaystyle \angle$ DAC = $\displaystyle \angle$ MAC = $\displaystyle \angle$ MCB = $\displaystyle \angle$ BDM = $\displaystyle \angle$ BDA.

Поэтому BD || AC. Следовательно, ABDC — параллелограмм. Его диагональ AD делит вторую диагональ BC пополам.

Второй способ.

Пусть K — точка пересечения прямых AM и BC. Треугольник MKC подобен треугольнику CKA (по двум углам). Поэтому ${\frac{CK}{KM}}$ = ${\frac{AK}{CK}}$ . Следовательно, CK² = AK^.KM.

С другой стороны, из подобия треугольников MBK и BAK следует, что BK² = AK^.KM. Поэтому BK = KM.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4712