Информация о задаче

Задача 55383

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причём точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что BK = ${\frac{\vert AK - CK\vert}{\sqrt{2}}}$ и DK = ${\frac{AK + CK}{\sqrt{2}}}$ .

Подсказка

Докажите, что точка K лежит на окружности, описанной около данного квадрата, и воспользуйтесь формулой a = 2R sin $\alpha$ .

Решение

Пусть CK > AK. Обозначим $\angle$ ACK = $\varphi$ . Тогда $\varphi$ < 45^o. Точка K лежит на окружности, описанной около данного квадрата. Если R — радиус этой окружности, то

BK = 2R sin $\displaystyle \angle$ BCK = AC sin(45^o - $\displaystyle \varphi$ ) =

= AC $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \varphi - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin \varphi }\right.$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ cos $\displaystyle \varphi$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ ^.sin $\displaystyle \varphi$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \varphi - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin \varphi }\right)$ =

= $\displaystyle {\frac{AC\cos \varphi - AC\sin \varphi}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{CK - AK}{\sqrt{2}}}$ ,

DK = 2R sin $\displaystyle \angle$ KCD = AC sin(45^o + $\displaystyle \varphi$ ) =

= $\displaystyle {\frac{AC\cos \varphi + AC \sin \varphi}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{CK + AK}{\sqrt{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4702