Информация о задаче

Задача 55364

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны параллелограмма разделены по обходу в равных отношениях. Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры симметрии этих параллелограммов совпадают.

Подсказка

Если M и N — точки пересечения диагоналей параллелограммов ABCD и PQRS, то $\overrightarrow{MN}$ = ${\frac{1}{4}}$ ( $\overrightarrow{AP}$ + $\overrightarrow{BQ}$ + $\overrightarrow{CR}$ + $\overrightarrow{DS}$ ).

Решение

Пусть точки P, Q, R, S принадлежат сторонам соответственно AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD и

$\displaystyle {\frac{AP}{PB}}$ = $\displaystyle {\frac{BQ}{QC}}$ = $\displaystyle {\frac{CR}{RD}}$ = $\displaystyle {\frac{DS}{SA}}$ = k.

Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{PQ}$ = $\displaystyle \overrightarrow{PB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ = $\displaystyle {\frac{1}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ ,

$\displaystyle \overrightarrow{SR}$ = $\displaystyle \overrightarrow{SD}$ + $\displaystyle \overrightarrow{DR}$ = $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ + $\displaystyle {\frac{1}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{DC}$ = $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ + $\displaystyle {\frac{1}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ .

Поэтому $\overrightarrow{PQ}$ = $\overrightarrow{SR}$ . Следовательно, PQRS — параллелограмм.

Пусть теперь M и N — точки пересечения диагоналей параллелограммов ABCD и PQRS. Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ + $\displaystyle \overrightarrow{DS}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AB} + \frac{k}{k+1}\... ...} + \frac{k}{k+1}\overrightarrow{CD} + \frac{k}{k+1}\overrightarrow{DA}}\right.$ $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ + $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{CD}$ + $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{DA}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AB} + \frac{k}{k+1}\... ...} + \frac{k}{k+1}\overrightarrow{CD} + \frac{k}{k+1}\overrightarrow{DA}}\right)$ =

= $\displaystyle {\frac{k}{4(k+1)}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CD}$ + $\displaystyle \overrightarrow{DA}$ ) = $\displaystyle {\frac{k}{4(k+1)}}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Следовательно, точки M и N совпадают.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4513