Информация о задаче

Задача 55362

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при произвольном выборе точки O равенство = k + (1 – k) является необходимым и достаточным условием принадлежности различных точек A, B, C одной прямой.

Подсказка

Для того, чтобы точки A, B, C лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы $\overline{BA}$ и $\overline{BC}$ были коллинеарны.

Решение

Достаточность.

Если $\overrightarrow{OC}$ = k $\overrightarrow{OA}$ + (1 - k) $\overrightarrow{OB}$ , то

$\displaystyle \overrightarrow{OC}$ - $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ = k( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ - $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ ),

или $\overline{BC}$ = k $\overline{BA}$ . Следовательно, векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BA}$ коллинеарны. Поэтому точки A, B и C принадлежат одной прямой.

Необходимость.

Если точки A, B, C принадлежат одной прямой, то векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BA}$ коллинеарны. Поэтому найдется число k такое, что $\overrightarrow{BC}$ = k $\overrightarrow{BA}$ . Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{OC}$ - $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ = k( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ - $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ ), или $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ = k $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + (1 - k) $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4511