ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55360
Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и точка M. Известно, что $ \overrightarrow{MA} $ + $ \overrightarrow{MB} $ + $ \overrightarrow{MC} $ = $ \overrightarrow{0}$. Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC.


Подсказка

Пусть M1 — точка пересечения медиан треугольника ABC. Выразите вектор $ \overrightarrow{MM_{1}}$ через векторы $ \overrightarrow{MA} $, $ \overrightarrow{MB} $ и $ \overrightarrow{MC} $.


Решение

Пусть M1 — точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overrightarrow{MA} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MB} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MC}$) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ . $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$.

Следовательно точки M и M1 совпадают.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4509

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .