Информация о задаче

Задача 55358

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M и N — точки пересечения медиан треугольников ABC и PQR соответственно. Докажите, что $\overrightarrow{MN}$ = ${\frac{1}{3}}$ ( $\overrightarrow{AP}$ + $\overrightarrow{BQ}$ + $\overrightarrow{CR}$ ).

Подсказка

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Решение

Пусть A₁, B₁, C₁ — середины сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC; P₁, Q₁, R₁ — середины сторон соответственно QP, PR и RQ треугольника PQR. Сложив почленно равенства

$\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{PN}$ , $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{QN}$ , $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ + $\displaystyle \overrightarrow{RN}$ ,

получим, что

3 $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = ( $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{PN}$ + $\displaystyle \overrightarrow{QN}$ + $\displaystyle \overrightarrow{RN}$ ) =

= $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$ ) + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{PP_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{QQ_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{RR_{1}}$ ) =

= $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ - $\displaystyle \overrightarrow{0}$ + $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4507