ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55353
Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что $ \overrightarrow{MA} $ + $ \overrightarrow{MB} $ + $ \overrightarrow{MC} $ = $ \overrightarrow{0}$.


Подсказка

Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.


Решение

Пусть A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC, AB треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{MA} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MB} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MC} $ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$($\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$) = - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ . $\displaystyle \overrightarrow{0} $ = $\displaystyle \overrightarrow{0} $.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4502

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .