Информация о задаче

Задача 55307

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника ABC равна S. Углы CAB, ABC и ACB равны $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Найдите высоты треугольника.

Подсказка

Выразите высоту, проведённую к стороне BC через AB и AC.

Решение

Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Пусть высоты, опущенные на эти стороны, равны x, y и z соответственно. Тогда

b = $\displaystyle {\frac{x}{\sin \beta}}$ , c = $\displaystyle {\frac{x}{\sin \gamma}}$ , S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bc sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}x^{2}\sin \alpha}{\sin \beta\sin \gamma}}$ .

Отсюда находим, что

x² = $\displaystyle {\frac{2S\sin \beta\sin \gamma}{\sin \alpha}}$ .

Следовательно,

x = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2S \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}}{\sin \alpha}}$ .

Аналогично найдём y и z.

Ответ

${\frac{\sqrt{2S\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma}}{\sin\alpha}}$ ; ${\frac{\sqrt{2S\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma}}{\sin\beta}}$ ; ${\frac{\sqrt{2S\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma}}{\sin\gamma}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4054