Информация о задаче

Задача 55273

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите справедливость следующих формул для площади треугольника:

S = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sin \beta \sin \gamma}{2\sin \alpha}}$ ,

S = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ ,

где $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы треугольника, a — сторона, лежащая против угла $\alpha$ , R — радиус описанной окружности.

Подсказка

Примените теорему синусов.

Решение

Пусть b — сторона треугольника, лежащая против угла $\beta$ . Тогда

$\displaystyle {\frac{b}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin \alpha}}$ .

Отсюда находим, что

b = $\displaystyle {\frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}}$ .

Следовательно,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sin \beta \sin \gamma}{2\sin \alpha}}$ .

В правую часть формулы S = ${\frac{1}{2}}$ ab sin $\gamma$ подставим a = 2R sin $\alpha$ и b = 2R sin $\beta$ . Получим, что

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R sin $\displaystyle \alpha$ ^.2R sin $\displaystyle \beta$ ^.sin $\displaystyle \gamma$ = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4020