ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55248
Темы:    [ Неравенства с площадями ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей.


Подсказка

Пусть O — центр, R — радиус окружности, OE = a (рис.1). Тогда SABCD = $ {\frac{2R}{a}}$S$\scriptstyle \Delta$OBD.


Решение

Пусть O — центр, R — радиус окружности, OE = a (рис.1). Тогда

SABCD = S$\scriptstyle \Delta$ADC + S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\frac{2R}{a}}$S$\scriptstyle \Delta$ODE + $\displaystyle {\frac{2R}{a}}$S$\scriptstyle \Delta$OBE =

= $\displaystyle {\frac{2R}{a}}$(S$\scriptstyle \Delta$ODE + S$\scriptstyle \Delta$OBE) = $\displaystyle {\frac{2R}{a}}$S$\scriptstyle \Delta$OBD.

Следовательно, площадь четырёхугольника ABCD наибольшая, когда наибольшая площадь треугольника OBD.

Треугольник OBD — равнобедренный,

OB = OD = RS$\scriptstyle \Delta$OBD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$R2sin$\displaystyle \varphi$,

где $ \varphi$ = $ \angle$BOD. Угол $ \varphi$ тем меньше, чем меньше хорда BD, или чем длиннее проведённый к этой хорде перпендикуляр OH.

Поскольку OH $ \leqslant$ OE = a, то наименьшее значение $ \varphi$ = $ \varphi_{0}^{}$ характеризуется тем, что отрезки OH и OE совпадают, что соответствует хорде BD, перпендикулярной AC. В этом случае cos$ {\frac{\varphi _{0}}{2}}$ = $ {\frac{a}{R}}$.

Итак, остается найти наибольшее значение площади треугольника OBD при $ \varphi_{0}^{}$ $ \leqslant$ $ \varphi$ < $ \pi$. Возможны следующие два случая.

1) Если $ \varphi_{0}^{}$ $ \leqslant$ $ {\frac{\pi}{2}}$, то максимум достигается при $ \varphi$ = $ {\frac{\pi}{2}}$. В этом случае

$\displaystyle {\frac{a}{R}}$ = cos$\displaystyle {\frac{\varphi_{0}}{2}}$ $\displaystyle \geqslant$ cos$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$a $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\frac{R}{\sqrt{2}}}$,

а искомая хорда BD, стягивающая дугу в 90o, должна отстоять от центра на расстояние $ {\frac{R}{\sqrt{2}}}$, т.е. должна касаться окружности с центром O радиуса $ {\frac{R}{\sqrt{2}}}$.

2) Если же $ \varphi_{0}^{}$ > $ {\frac{\pi}{2}}$ (что будет при a < $ {\frac{R}{\sqrt{2}}}$), то максимум площади достигается при $ \varphi$ = $ \varphi_{0}^{}$. В этом случае искомая хорда BD должна быть перпендикулярна диаметру AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3602

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .