Информация о задаче

Задача 55244

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника меньше a. Докажите, что его площадь меньше a².

Подсказка

Если ABCD — выпуклый четырёхугольник, то

2S_ABCD = S_ABD + S_ABC + S_BCD + S_ADC.

Решение

Пусть $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ — соответствующие углы выпуклого четырёхугольника ABCD. Тогда

2S_ABCD = S_ABD + S_ABC + S_BCD + S_ADC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.AB sin $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BC sin $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.CD sin $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CD^.AD sin $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \leqslant$

$\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD^.AB + AB^.BC + BC^.CD + CD^.AD) <

< $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (a² + a² + a² + a²) = 2a².

Следовательно, S_ABCD < a².

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3598