Задача 55234

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть точка C – середина дуги AB некоторой окружности, а D – любая другая точка этой дуги.
Докажите, что  AC + BC > AD + BD.

Подсказка

На продолжении хорды AD за точку D отложите отрезок DE, равный хорде DB, и докажите, что прямая CD делит угол BDE пополам.

Решение

  Пусть точка D лежит на дуге BC. На продолжении хорды AD за точку D отложим отрезок DE, равный DB. Пусть прямая CD пересекает основание BE равнобедренного треугольника BDE
в точке M.
  Обозначим  ∠MDE = α.  Тогда  ∠ADC = α,  ∠CAB = ∠CBA = ∠CDA = α,  ∠ADB = ∠ACB = 180° – 2α,  ∠BDE = 180° – ∠ADB = 2α.
  Значит, DM – биссектриса равнобедренного треугольника BDE. Поэтому CM – серединный перпендикуляр к отрезку BE, а  CE = CB.  Следовательно,
AC + BC = AC + CE > AE = AD + DE = AD + DB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3588