ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55223
Темы:    [ Неравенство треугольника ]
[ Неравенства с медианами ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC. Докажите, что AA1 + BB1 > $ {\frac{3}{2}}$AB.


Подсказка

Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.


Решение

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Применяя неравенство треугольника к треугольнику AMB, получим, что

AM + MB > AB, или $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$AA1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$BB1 > AB.

Следовательно, AA1 + BB1 > $ {\frac{3}{2}}$AB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3577

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .