Задача 55222

Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Проведите через вершину A остроугольного треугольника ABC прямую так, чтобы она не пересекала сторону BC и чтобы сумма расстояний до неё от вершин B и C была наибольшей.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о средней линии трапеции.

Решение

Проведём через вершину A произвольную прямую, не пересекающую сторону BC треугольника ABC. Пусть B₁, C₁ и M₁ — проекции точек B, C и M (середины BC) на эту прямую. Тогда

MA MM₁ = (BB₁ + CC₁).

Поэтому искомая прямая должна быть перпендикулярной медиане AM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3576