Информация о задаче

Задача 55220

Темы:	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что среди всех треугольников ABC с фиксированным углом $\angle$ A = $\alpha$ и площадью S наименьшую сторону BC имеет равнобедренный треугольник с основанием BC.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Обозначим AB = c, AC = b. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bc sin $\displaystyle \alpha$ .

Отсюда находим, что bc = ${\frac{2S}{\sin \alpha}}$ . По теореме косинусов

BC² = b² + c² - 2bc cos $\displaystyle \alpha$ = (b - c)² + 2bc - 2bc cos $\displaystyle \alpha$ =

= (b - c)² + 2bc(1 - cos $\displaystyle \alpha$ ) = (b - c)² + $\displaystyle {\frac{4S(1-\cos \alpha)}{\sin \alpha}}$ .

Поскольку второе слагаемое постоянно, то сторона BC минимальна, если b = c.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3574