Задача 55198

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что  NO ≤ 2MO.

Подсказка

Пусть точки M и N принадлежат соответственно сторонам AB и AC треугольника ABC. Через вершину C проведите прямую, параллельную AB.

Решение

  Пусть точка M принадлежит стороне AB, а N – стороне AC треугольника ABC. Через вершину C проведём прямую, параллельную стороне AB, и продолжим MN до пересечения с этой прямой в точке N₁.
  Пусть C₁ – середина AB. Из подобия треугольников N₁OC и MOC₁ находим, что  ON₁ = ^OC/_OC1·OM = 2OM.
  Следовательно,  ON ≤ ON₁ = 2OM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3552